Question

17．如图，CD和BE是△ABC的两条高，∠BCD=45°，BF=FC，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ACD=∠CBE．
（1）判断△ABC的形状并说明理由；
（2）小明说：BH的长是AE的2倍．你认为正确吗？请说明理由．
（3）若BG=n²+1，GE=n²-1，求BH的长．

Answer 1

分析 （1）由CD和BE是△ABC的两条高，于是得到∠A=∠ACD+∠A=90°，于是得到∠ABE=∠ACD，由于∠ACD=∠CBE，折叠∠ABE=∠CBE，通过△BAE≌△BCE，根据全等三角形的性质得到BA=BC，于是得到结论；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到BD=DC证得△BDH≌△CDA，根据全等三角形的性质得到BH=AC，根据直角三角形的性质得到AC=2AE，BH=2AE，即可得到结论；
（3）连接GC，根据勾股定理列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵CD和BE是△ABC的两条高，
∴∠A=∠ACD+∠A=90°，
∴∠ABE=∠ACD，
∵∠ACD=∠CBE，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠BEA=∠BEC=90°，
在△BAE与△BCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}\\{∠BEA=∠BEC=90°}\\{BE=BE}\end{array}\right.$，
∴△BAE≌△BCE，
∴BA=BC，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵∠BDC=90°，∠BCD=45°，
∴BD=DC，
∵∠BDH=∠CDA=90°，
在△BDH与△CDA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDH=∠CDA}\\{∠DBH=∠DCA}\\{BD=DC}\end{array}\right.$，
∴△BDH≌△CDA，
∴BH=AC，
∵BE⊥AC，
∴AC=2AE，
BH=2AE，
∴小明说的正确；

（3）连接GC，则GC=BG=n²+1，
在Rt△GEC中，
CE²=GC²-GE²=（n²+1）²-（n²-1）²=4n²，
∴CE=2n，
∵CD⊥AB，∠BCD=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°，
∴∠GBC=∠GCB=22.5°，
∴∠EGC=45°，
∴△CGE是等腰直角三角形，
∴CE=GE，
∴n²-1=2n，
∴n=$\sqrt{2}$+1，（负值舍去），
∴AC=2CE=4n，
∴BH=4n=4$\sqrt{2}$+4．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．