Question

【题目】如图，△ABC为等边三角形，AE=CD，AD交BE于点P，BQ⊥AD于Q.

（1）求证：AD=BE；

（2）设∠BPQ=α，那么α的大小是否随D、E的位置变化而变化?请说明理由；

（3）若PQ=3，PE=1，求AD的长.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）的大小不随D、E的位置变化而变化，理由见解析；（3）7

【解析】

（1）欲证明AD=BE，只要证明△ACD≌△BAE即可．

（2）由α=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP即可得出结论．

（3）在Rt△PBQ中，利用30°角的性质即可知道PB=2PQ，由此可以解决问题．

（1）∵△ABC为等边三角形，

∴AC=AB，∠C=∠BAC=60°

在△ACD和△BAE中，

∴△ACD≌△BAE，

∴AD=BE

（2）不变，理由如下：

由（1）可知：△ACD≌△BAE

∴∠CAD=∠ABE

∵α=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°

故答案为：α的大小不随D、E的位置变化而变化，理由见解析

（3）在△PBQ中,∠PBQ=90°∠BPQ=90°60°=30°

∴BP=2PQ=6

∴AD=BE=BP+PE=6+1=7

故答案为：7