Question

如图，已知：△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，延长BC到E，使得CE=2BC，取CE的中点D，连接AE、AD．求证：△ACD∽△ECA．

Answer 1

分析：由CE=2BC，CE的中点D，即可得CD=DE=BC，又由∠ABC=90°，AB=BC，即可求得AC=

2

BC，则可求得

AC

CD

=

CE

AC

，又由∠ACD=∠ECA，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可证得△ACD∽△ECA．

解答：证明：∵CE=2BC，CE的中点D，
∴CE=2CD=2DE，
∴CD=DE=BC，
∵∠ABC=90°，AB=BC，
∴AC=

2

BC，
∴

AC

CD

=

2 BC

BC

=

2

且

CE

AC

=

2BC

2 BC

=

2

，
∴

AC

CD

=

CE

AC

，
又∵∠ACD=∠ECA，
∴△ACD∽△ECA．

点评：此题考查了相似三角形的判定与等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．