Question

6．如图，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6，若AD平分∠CAB，求AD的长．

Answer 1

分析 连接BC、OD、BD，如图，根据圆周角定理得∠ACB=∠ADB=90°，在Rt△ACB中利用勾股定理计算出BC=8，由于∠CAD=∠BAD，根据圆周角定理得到弧CD=弧BD，再根据垂径定理的推理得OD垂直平分BC，则OE=$\frac{1}{2}$AC=3，BE=$\frac{1}{2}$BC=4，所以DE=OD-OE=2，在Rt△BDE中利用勾股定理计算出BD=2$\sqrt{5}$，然后在Rt△ADB中利用勾股定理可计算出AD．

解答 解：连接BC、OD、BD，如图，
∵AB为半圆O的直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
在Rt△ACB中，∵AB=10，AC=6，
∴BC=$\sqrt{{1{0}^{2}-6}^{2}}$=8，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{BD}$，
∴OD垂直平分BC，
∴OE=$\frac{1}{2}$AC=3，BE=$\frac{1}{2}$BC=4，
∴DE=OD-OE=2，
在Rt△BDE中，BD=$\sqrt{B{E}^{2}+D{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$cm，
在Rt△ADB中，AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=4$\sqrt{5}$cm．

点评 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和勾股定理．