Question

如图，AC是⊙O的直径，BF是⊙O的弦，BF⊥AC于点H，在BF上截取KB＝AB，AK的延长线交⊙O于点E，过点E作PD∥AB，PD与AC、BF的延长线分别交于点D、P.

（1）求证：PD是⊙O的切线；

（2）求证；EK²＝FK·PK；

（3）若AK＝，tan∠D＝，求DE的长．

 

Answer 1

【答案】

（1）连接OE，根据圆的基本性质可得∠OEA=∠OAE，根据平行线的性质可得∠PEA=∠BAE，由KB＝AB可得∠AKB＝∠BAE，即得∠PEA＝∠AKB，再结合BF⊥AC即可证得结论；（2）连接EF，则∠EFB=∠BAE，又∠PEA＝∠BAE，即得∠EFK=∠PEK，证得△EFK∽△PEK，根据相似三角形的性质即可证得结论；（3）

【解析】

试题分析：（1）连接OE，根据圆的基本性质可得∠OEA=∠OAE，根据平行线的性质可得∠PEA=∠BAE，由KB＝AB可得∠AKB＝∠BAE，即得∠PEA＝∠AKB，再结合BF⊥AC即可证得结论；

（2）连接EF，则∠EFB=∠BAE，又∠PEA＝∠BAE，即得∠EFK=∠PEK，证得△EFK∽△PEK，根据相似三角形的性质即可证得结论；

（3）根据平行线的性质可得∠BAH＝∠D，即得tan∠BAH＝tan∠D＝，由BF⊥AC，H为垂足，且KB＝AB， 则在Rt△ABH和Rt△AKH中，设AH＝3n，则BH＝4n，AB＝5n，KH=n，再根据勾股定理即可列方程求得n，连接OB，并设⊙O半径为R，则在Rt△OBH中根据勾股定理即可列方程求得结果.

（1）连接OE，

∵OE＝OA，

∴∠OEA=∠OAE

∵PD∥AB，

∴∠PEA=∠BAE，

∵KB＝AB，

∴∠AKB＝∠BAE，

∴∠PEA＝∠AKB，

∵BF⊥AC，H为垂足，

∴∠OAE＋∠AKB＝90°

∴∠OEA+∠PEA＝90°，即OE⊥PD，

∵OE是⊙O半径，

∴PD是⊙O的切线；

（2）连接EF，则∠EFB=∠BAE，

又∠PEA＝∠BAE，

∴∠EFK=∠PEK，

又∠EKF=∠PKE，

∴△EFK∽△PEK，

∴

（3）∵AB∥PD，

∴∠BAH＝∠D，

∴tan∠BAH＝tan∠D＝，

∵BF⊥AC，H为垂足，且KB＝AB，

∴在Rt△ABH和Rt△AKH中，设AH＝3n，

则BH＝4n，AB＝5n，KH=n，

∴由AH²+KH²＝AK²，即，解得

∴AH＝，BH＝

连接OB，并设⊙O半径为R，则在Rt△OBH中，，

由，解得：

在Rt△ODH中，，     

∴.

考点：圆的综合题

点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.