Question

如图，已知AB=a，BD=b，（a、b为常数），BC=BD，∠ABD：∠BAC：∠ACD：∠CBD=1：2：4：4．
则2S_△ABC-S_△ABD-S_△ACD=

 

．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：根据已知条件“BC=BD，∠ABD：∠BAC：∠ACD：∠CBD=1：2：4：4”、以及△ABC的内角和是180°可以求得∠ABD=10°，∠CBD=∠ACD=40°，∠BCD=70°；然后作点D关于BC的对称点D′，连接BD′，构建直角三角形ABD′；最后将所求的2S_△ABC-S_△ABD-S_△ACD转化为求S_△ABD′的面积，利用对称的性质以及直角三角形的面积公式可以求解．

解答：解：∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD（等边对等角）；
又∵∠ABD：∠BAC：∠ACD：∠CBD=1：2：4：4，
∴设∠ABD=x，则∠BAC=2x，∠ACD=4x，∠CBD=4x，
∴∠ABD+∠DBC+∠BCD+∠ACD+∠BAC=x+4x+

180°-4x

2

+4x+2x=180°（三角形内角和定理），
解得，x=10°；
∴∠ABD=10°，∠CBD=∠ACD=40°，∠BCD=70°；
作点D关于BC的对称点D′，连接BD′，则BD=BD′，∠DBC=∠CBD′=40°，∠BCD′=∠BCD=70°，
∴∠ABD′=∠ABD+2∠DBC=90°，∠ACD′=∠ACD+2∠DBC=180°，即点D′在AC的延长线上，
∴△AABD′是直角三角形；
而AB=a，BD=b，
∴2S_△ABC-S_△ABD-S_△ACD
=2S_△ABC-S_△ABD-（S_△ABC-S_△ABD-S_△BCD）
=S_△ABC+S_△BCD=S_△ABC+S_△BCD′
=S_△ABD′
=

1

2

AB•BD′
=

1

2

AB•BD
=

1

2

ab．
故答案是：

1

2

ab．

点评：本题考查了面积及等积转换．解答本题的技巧性在于通过点作△BCD关于BC对称的△BCD′来构建直角三角形ABD′．