Question

二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象，
（1）求其解析式；
（2）观察图象写出y＞0时x的取值范围；
（3）是否存在某直线经过A（1，0）并与该抛物线只有一个公共点？若存在，求出该直线的解析式，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的图象,二次函数的性质

专题：计算题

分析：（1）设交点式y=a（x-1）（x-3），然后顶点坐标代入求出a即可；
（2）观察函数图象，找出函数图象在x轴上方所对应的自变量的取值范围即可；
（3）分类讨论：当经过A（1，0）且与y轴平行的直线与该抛物线只有一个公共点，此时易得直线为x=1；当经过A（1，0）的直线y=kx+m与该抛物线只有一个公共点，先把A（1，0）代入y=kx+m得k+m=0，解得m=-k，则直线解析式为y=kx-k，根据抛物线与一次函数的交点问题，得到方程-2x²+8x-6=kx-k有两个相等的实数解，整理得2x²+（k-8）x+6-k=0，则△=（k-8）²-4×2×（6-k）=0，解得k=4，所以经过A（1，0）的直线y=4x-4与该抛物线只有一个公共点．

解答：解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），
把（2，2）代入得a•1•（-1）=2，解得a=-2，
所以抛物线解析式为y=-2（x-1）（x-3）=-2x²+8x-6；
（2）当1＜x＜3时，y＞0；
（3）存在．
当经过A（1，0）的直线为x=1时，直线与该抛物线只有一个公共点；
当经过A（1，0）的直线y=kx+m与该抛物线只有一个公共点，
把A（1，0）代入y=kx+m得k+m=0，解得m=-k，
因为直线y=kx-4与y=-2x²+8x-6只有一个公共点，则方程组

y=kx-k y=-2x2+8x-6

只有一组解，
即-2x²+8x-6=kx-k有两个相等的实数解，
整理得2x²+（k-8）x+6-k=0，△=（k-8）²-4×2×（6-k）=0，解得k=4，
所以经过A（1，0）的直线y=4x-4与该抛物线只有一个公共点，
综上所述，满足条件的直线为x=1或y=4x-4．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质和直线与抛物线的交点问题．