Question

3．已知三个非负实数a，b，c，满足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，若s=3a+b-7c的最大值为m，最小值为n，则mn=-$\frac{5}{77}$．

Answer 1

分析 联立两等式后求出a与b，然后将a与b代入s中，化为一次函数最值问题，利用非负实数求出c的范围即可求出m与n的值．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{3a+2b=5-c}\\{2a+b=1+3c}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=7c-3}\\{b=7-11c}\end{array}\right.$
∵a、b、c都是非负实数，
∴$\left\{\begin{array}{l}{7c-3≥0}\\{7-11c≥0}\\{c≥0}\end{array}\right.$
解得：$\frac{3}{7}$≤c≤$\frac{7}{11}$
∴s=3a+b-7c
=3（7c-3）+（7-11c）-7c
=3c-2
∴当c=$\frac{7}{11}$时，
s的最大值为：m=-$\frac{1}{11}$，
当c=$\frac{3}{7}$时，
s的最小值为：n=-$\frac{5}{7}$
∴mn=$\frac{5}{77}$
故答案为：$\frac{5}{77}$

点评 本题考查一次函数的综合问题，解题的关键是列出方程组求出a与b的表达式，然后利用一元一次不等式组求出c的范围，本题属于中等题型．