Question

18．二次函数y=x²+bx的图象如图，对称轴为x=-2．若关于x的一元二次方程x²+bx-t=0（t为实数）在-5＜x＜2的范围内有解，则t的取值范围是-4≤t＜12．

Answer 1

分析 先利用对称轴方程求出b得到抛物线解析式为y=x²+4x，再配成顶点式得到抛物线的顶点坐标为（-2，-4），接着根据二次函数的性质，运用函数图象求出当-5＜x＜2时，对应的函数值的范围为-4≤y＜12，由于关于x的一元二次方程x²+bx-t=0（t为实数）在-5＜x＜2的范围内有解，则抛物线y=x²+bx与直线y=t有交点，然后借助图象可得到-4≤t＜12．

解答 解：∵-$\frac{b}{2×1}$=-2，解得b=4，
∴抛物线解析式为y=x²+4x，即y=（x+2）²-4，
∴抛物线的顶点坐标为（-2，-4），
当x=2时，y=x²+4x=12，
∴当-5＜x＜2，-4≤y＜12，
∵一元二次方程x²+bx-t=0（t为实数）的解可看作抛物线y=x²+bx与直线y=b的交点的横坐标，
∴关于x的一元二次方程x²+bx-t=0（t为实数）在-5＜x＜2的范围内有解时，抛物线y=x²+bx与直线y=t有交点，如图，
∴-4≤t＜12．
故答案为-4≤t＜12．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题可转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数与一次函数图象的交点问题．运用数形结合的思想是解决本题的关键．