Question

【题目】（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，若AB＝AC＝2，求DE的长；

（2）如图，在（1）的条件下，连结AG、AF分别交DE于M、N两点，求MN的长；

（3）如图，在△ABC中，AB＝AC＝BN＝2，∠BAC＝108°，若AM＝AN，请直接写出MN的长．

Answer 1

【答案】（1）DE＝；（2）MN＝；（3）MN＝3﹣．

【解析】

（1）先利用勾股定理求出BC的长，然后证明△BGD和△EFC是等腰直角三角形，根据正方形的性质可得BG=FG=FC即可解决问题．

（2）利用平行线分线段成比例定理，构建方程即可解决问题．

（3）证明BM=AM=AN，设MN=x，则AN=AM=BM=2-x．由△NAM∽△NBA，可得AN2=NMNB，构建方程即可解决问题．

（1）解：∵AB＝AC＝2，∠A＝90°，

∴∠B＝∠C＝45°，BC＝，

∵四边形DEFG是正方形，

∴DE＝DG＝GF＝EF，∠DGF＝∠EFG＝90°，

∴∠BGD＝∠CFE＝90°，

∴∠B＝∠BDG＝45°，∠C＝∠CEF＝45°，

∴BG＝DG， CF＝EF，

∴BG=FG=FC=DE，

∴DE＝BC＝．

（2）∵DE∥BC，

∴，

∴，

∴MN＝．

（3）∵AB＝AC，∠BAC＝108°，

∴∠B＝∠C＝36°，

∵BA＝NB，

∴∠ANB＝∠BAN＝72°，

∵AM＝AN，

∴∠AMN＝∠ANM＝72°，

∴∠B＝∠BAM＝∠MAN＝36°，

∴BM＝AM＝AN，设MN＝x，则AN＝AM＝BM＝2﹣x．

∵△NAM∽△NBA，

∴AN2＝NMNB，

∴（2﹣x）2＝2x，

∴x＝3﹣或3+（舍弃）

∴MN＝3﹣．