Question

【题目】如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，其顶点的坐标为为抛物线上轴下方一点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）若，求点的坐标；

（3）若直线与抛物线交于两点，问：是否存在的值，使得，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，.

【解析】

（1）由于已知抛物线顶点坐标，故可设顶点式，再把点B坐标代入求得a，即求得抛物线解析式；

（2）先根据抛物线解析式求出A、C坐标．由∠PCB=∠ACB和∠ABC=45°联想到构造△ABC的全等三角形，过点作交延长线于点，构造角边角得到的△ABC≌△MBC，进而求得点M坐标．求直线CM解析式，把直线CM与抛物线解析式联立方程组，求得的其中一解即为点P坐标；

（3）假设存在的值，使直线与(1)中所求的抛物线交于、，联立两函数解析式求出，根据OM2+ON2=MN2，整理后把x1+x2和x1·x2的值代入即可求出a的值.

(1)设抛物线解析式为y=a(x-1)2-4，把B（3,0）代入得，

；

(2)过点作交延长线于点，

∵y=0时，x2-2x-3=0，

解得：x1=-1，x2=3，

∴A（-1，0），AB=3-（-1）=4，

∵x=0时，y=x2-2x-3=-3，

∴C（0，-3），

∴OB=OC=3，

∴∠OCB=∠OBC=45°.

∵OC∥BM，

∴∠MBC=∠OCB=∠OBC=45°，

在△ABC与△MBC中，

，

∴△ABC≌△MBC（ASA）

，

，

设CM解析式为y=kx+b，

把C（0，-3），代入，得

，

∴，

，

由，得或（舍），

；

(3)假设存在的值，使直线与(1)中所求的抛物线交于、，

两点(在的左侧)，使得，

由得，

，

又，

，

，

，

即，

，

存在使得.