Question

6．已知：如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，BD⊥AC于D，点E在AB边上，CE交BD于点F，且∠BEF=∠BFE，EG⊥AC于点G．若GE=3，CD=4，则线段BE的长为7．

Answer 1

分析 作CH⊥AB于H．通过全等三角形的性质证明BH=CD=4，EH=DG=3即可解决问题．

解答 解：作CH⊥AB于H．

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD⊥AC，
∴∠CHB=∠BDC=90°，
在△CBH和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CHB=∠BDC}\\{∠CBH=∠BCD}\\{BC=CB}\end{array}\right.$，
∴△CBH≌△BCD，
∴BH=CD=4，
∵∠CEB=∠CEG，CG⊥EG，CH⊥EB，
∴CH=CG，
∴Rt△CEH≌Rt△CEG，
∴EH=EG=3，
∴EB=BH+EH=7，
故答案为7．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．