Question

【题目】在正方形中，是边上一点（点不与点、重合），连结.如图①，过点作交于点.易证.（不需要证明）如图②，取的中点，过点作交于点，交于点.

（1）求证：.

（2）连结，若，求的长.

（3）如图③，取的中点，连结.过点作交于点，于点，连结、.若，求四边形的面积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2；（3）4.

【解析】

（1）过点G作GP⊥BC于P，判断出PG＝BC，由题目中的材料可知△GPF≌△BCE，即可得出结论；

（2）利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半求解；

（3）借助（1）（2）的结论，结合S四边形GMCE＝CG×OE+CG×OM进行求解即可．

解：（1）如图②，

过点G作GP⊥BC于P，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，

∴四边形ABPG是矩形，

∴PG＝AB，

由题目中的材料可知：△GPF≌△BCE，

∴BE＝FG；

（2）由（1）知，BE＝FG，连接CM，

∵∠BCE＝90°，点M是BE的中点，

∴BE＝2CM＝2，

∴FG＝2；

（3）∵CM＝2，

∴ME＝2，

由（1）（2）得，CG＝BE＝4，

∵BE⊥CG，

∴S四边形GMCE＝CG×OE+CG×OM＝CG×ME＝×4×2＝4．