Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC，∠ABC=2∠BAC，弦BE交AC于点D，连接AE，若

DC

BC

=

AE

BE

，点C坐标是（a，0），点F坐标是（0，b）．
（1）请你写出圆心O的坐标（

 

，

 

）；
（用含a，b的代数式表示）
（2）求线段BD的长．

Answer 1

分析：（1）过O分别作AF、AC的垂线，由垂径定理即可得到O点的坐标；
（2）等腰△ABC中，∠ABC=2∠BAC，根据三角形内角和定理即可求得∠ABC=72°、∠BAC=36°；
由圆周角定理知∠E=∠BCD，联立

DC

BC

=

AE

BE

，可证得△ABE∽△DBC，那么可证得∠ABE=∠DBC=36°，进而可得到△BCD、△ADB都是含36°、72°角的等腰三角形，可设BD=x，那么AD=BD=BC=x，CD=a-x；然后通过△BCD∽△ABC得到的比例线段来求得BD的长．

解答：解：（1）（

a

2

，

b

2

）（2分）

（2）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ABC=2∠BAC，
∴∠ACB=2∠BAC，
∴∠ACB=∠ABC=72°，∠BAC=36°，
∵

DC

BC

=

AE

BE

，∠AEB=∠ACB，
∴△ABE∽△DBC，
∴∠ABE=∠DBC=36°，（3分）
∴∠ABE=∠DBC=∠BAC=36°，∠BDC=72°，
∴AD=BD=BC，（4分）
∵点C坐标是（a，0），设BD的长为x
∴DC=a-x
∵∠DBC=∠BAC=36°，∠DCB=∠BCA
∴△ABC∽△BDC，得：

BC

AC

=

DC

BC

即

x

a

=

a-x

x

（5分）
∴x²+ax=a²
解之得：x=

5 -1

2

a
∴BD的长为

5 -1

2

a．（6分）

点评：此题主要考查了垂径定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力．