Question

【题目】抛物线与直线交于、两点，抛物线的顶点记为．其对称轴与轴的交点记为；

（1）如图1，在线段上有两个动点、，且，作轴，分别交抛物线于点、，过点作另一条直线，当取得最大值时，有一动点从出发沿某条路径以1个单位每秒的速度先运动到直线上的点处，再沿垂直于的方向以1个单位每秒的速度从点运动到上点处，最后以个单位每秒的速度从点回到点，运动停止，请求出满足条件的点坐标及动点运动总时间的最小值；

（2）如图2，连接，将沿射线平移得，当恰好落在∠BDO的角平分线上时，在轴上取一点，再将沿翻折得，连接、，当为等腰三角形时，求出的坐标．

Answer 1

【答案】（1），；（2）B′′或B′′.

【解析】

（1）根据题意设，则，，，判定当时，最大，然后利用对称性即可得解；

（1）设，则，，

当时，最大

作点关于直线的对称点，把沿的方向平移个单位得，过点作直线的垂线，垂足为点，交直线于点，过点作直线的垂线，垂足为点，连接．

四边形是平行四边形

，

最小最小

，过点作轴的垂线，交于点

，

，

最小

（2）过O作OZ⊥BD于Z，过O′作O′L⊥BD于L，作O′K⊥x轴与K，连接B′B′′，DB′′，如图所示：

∵

∴D，B（0，-2）

∵∠BOD=∠OZD=90°

∴OZ=，由平移得O′L=OZ=

∵O′恰好落在∠BDO的角平分线上

∴O′K=O′L=

∴△BOD向下平移个单位得到△B′O′D′，由平移性质可知△BOD同时向左平移个单位

∴O′，B′

∵将沿翻折得，为等腰三角形，可以分以下几种情况：

①DB′′=DB′，即R与D重合

∴当O′恰好落在∠BDO的角平分线上时，B′′落在x轴上

∵

∴此时DB′′=4，OB′′=4-=

∴B′′；

②B′B′′=DB′=4时，

∵O′B′′=O′B′=OB=2，

∴B′B′′≤4，仅当B′、O′、B′′三点共线时B′B′′=4成立，此时O′R⊥O′B′，即x轴上不存在符合题意的点R，故B′B′′=DB′不成立；

③B′B′′=DB′′，即点B′′在线段B′D的垂直平分线上，

∵B′，D

∴B′D的中点坐标为，直线B′D的解析式为

∴B′D的垂直平分线的解析式为，设B′′

∵O′B′′=O′B′，B′，O′

∴

解得

∴B′′；

综上所述，B′′的坐标为B′′或B′′.