Question

13．已知：如图，Rt△ABC中，AC＞BC，∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，点E在CD上，且∠AED=∠B．求证：AE=BC．

Answer 1

分析 延长CD到F使DF=CD，连接AF，由CD是△ABC的中线，得到AD=BD，推出△ADF≌△BCD，根据全等三角形的性质得到∠F=∠BCD，BC=AF，根据直角三角形的性质得到CD=BD，由等腰三角形的性质得到∠B=∠BCD，等量代换即可得到结论．

解答 证明：延长CD到F使DF=CD，连接AF，
∵CD是△ABC的中线，
∴AD=BD，
在△ADF与△BCD中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠ADF=∠BDC}\\{DF=DC}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△BCD，
∴∠F=∠BCD，BC=AF，
∵∠ACB=90°，CD是△ABC的中线，
∴CD=BD，
∴∠B=∠BCD，
∵∠AED=∠F，
∴AE=AF，
∴AE=BC．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．