题目内容

已知如图，四边形ABCD为平行四边形，AD=a，AC为对角线，BM∥AC，过点D作 DE∥CM，交AC的延长线于F，交BM的延长线于E．
（1）求证：△ADF≌△BCM；
（2）若AC=2CF，∠ADC=60°，AC⊥DC，求四边形ABED的面积（用含a的代数式表示）．

（1）证明：在平行四边形ABCD中，则AD=BC，
∵AC∥BM，∴∠AFD=∠E，
又CM∥DE，∴∠BMC=∠E，
∴∠BMC=∠AFD，
同理∠FAD=∠MBC，
则在△ADF与△BCM中．
$\text{[math]}$ ，
∴△ADF≌△BCM．
（2）解：在△ACD中，
∵AC⊥CD，∠ADC=60°，
∴CD= $\text{[math]}$ AD= $\text{[math]}$ a，
则AC= $\text{[math]}$ a，AF= $\text{[math]}$ a，
又由（1）可得BE= $\text{[math]}$ a，
S_ABED=S_△ADF+S_ABEF= $\text{[math]}$ •AF•CD+ $\text{[math]}$ （AF+BE）•CD= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ a× $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ a+ $\text{[math]}$ a）× $\text{[math]}$ a= $\text{[math]}$ a²．
分析：（1）由平行线的性质可得∠BMC=∠AFD，∠FAD=∠MBC，进而可得出结论．
（2）可把四边形ABED的面积分解为△ADF的面积与四边形ABEF的面积进行求解．
点评：本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质以及三角形，四边形面积的求法，应熟练掌握．