Question

23、已知如图平行四边形ABCD，分别以AB，BC为边作等边△EAB与等边△FBC，连接EF，DF与DE，猜想△DEF的形状并加以证明．

Answer 1

分析：根据等边三角形的性质和平行四边形的性质可以发现△ADE≌△CFD≌△BFE，根据全等三角形的对应边相等就可证明DE=CF=EF．

解答：解：△DEF是等边三角形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠BAD=∠BCD．
∵△EAB与△FBC都是等边三角形，
∴AB=AE=BE，BF=CF=BC，∠BAE=∠BCF=60°．
∴AD=CF，∠EAD=∠DCF，AE=CD．
∴△ADE≌△CFD（SAS）；
又∵CD=AB（平行四边形的对边相等），
∴BE=CD（等量代换），
∴△CFD≌△BFE（SSS），
∵△ADE≌△CFD≌△BFE，
∴△CFD≌△BFE，
可得DE=CF=EF．
∴△DEF是等边三角形．

点评：此题综合运用了平行四边形的性质和等边三角形的性质．