Question

2．如图，在平面直角坐标系中，直线l与坐标轴相交于点M（3，0），N（0，-4），反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象经过Rt△MON的外心A．
（1）求直线l的解析式；
（2）直接写出点A坐标及k值；
（3）在函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上取异于点A的一点B，作BC⊥x轴于点C，连接OB交直线l于点P，若△OMP的面积与△OBC的面积相等，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）设直线l的解析式为y=kx+b，把M（3，0），N（0，-4）代入，即可求出k、b，即可得出答案；
（2）求出A为MN的中点，即可得出答案；
（3）设P点的坐标为（a，$\frac{4}{3}$a-4），分别表示出两个三角形的面积，即可得出方程，求出a的值，即可得出答案．

解答 解：（1）设直线l的解析式为y=kx+b，
把M（3，0），N（0，-4）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{b=-4}\end{array}\right.$，
解得：k=$\frac{4}{3}$，b=-4，
所以直线l的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-4；

（2）∵点A是直角三角形NOM的外心，
∴A为MN的中点，
∵M（3，0），N（0，-4），
∴A的坐标为（$\frac{3}{2}$，-2），
把A的坐标代入y=$\frac{k}{x}$得：k=-3；

（3）∵点P在直线l上，且在第四象限，可设P点的坐标为（a，$\frac{4}{3}$a-4），
∴S_△OMP=$\frac{1}{2}×3×|\frac{4}{3}a-4|$=$\frac{1}{2}$×3×（4-$\frac{4}{3}$a），
∵点B是y=-$\frac{3}{x}$上的点，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$•|k|=$\frac{3}{2}$，
∵△OMP的面积与△OBC的面积相等，
∴$\frac{1}{2}$×3×（4-$\frac{4}{3}$a）=$\frac{3}{2}$，
解得：a=$\frac{9}{4}$，
∴$\frac{4}{3}$a-4=$\frac{4}{3}$×$\frac{9}{4}$-4=-1，
∴P的坐标为（$\frac{9}{4}$，-1）．

点评 本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积，三角形的外接圆的应用，能用待定系数法求出函数的解析式是解此题的关键．