Question

【题目】如图，抛物线y＝x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点Q是线段OB上一动点，连接BC，点M在线段BC上，且使△BQM为直角三角形的同时△CQM为等腰三角形，则此时点Q的横坐标为（　　）

A.或B.或C.或D.或

Answer 1

【答案】C

【解析】

先求得A、B、C的坐标，即可求得AB的长，求得直线BC的解析式，然后分两种情况分别讨论①当∠BQM=90°时，设M（a，b），由△MQB∽△COB，得 ，列出方程即可．②当∠QMB=90°时，设CM=MQ=m，则BM=5-m，由△BMQ∽△BOC，可得 ，解方程即可．

抛物线y＝x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，

∴令y＝0，则x+3＝0，解得x＝1或4，

∴A（1，0），B（4，0），

令x＝0，则y＝3，

∴C（0，3），

∴OB＝4，OC＝3，

∴BC==5；

①当∠BQM=90°时，如图1，设M（a，b），

∵∠CMQ＞90°，
∴只能CM=MQ=b，
∵MQ∥y轴，
∴△MQB∽△COB，
∴ ，即 ，解得b=
∴点Q的横坐标为；
②当∠QMB=90°时，如图2，

∵∠CMQ=90°，
∴只能CM=MQ，
设CM=MQ=m，
∴BM=5-m，
∵∠BMQ=∠COB=90°，∠MBQ=∠OBC，
∴△BMQ∽△BOC，
∴，解得m=，
∴BM=BC-CM=5-=，
∵∠BMQ=∠BOC=90°，∠ABM=∠OBC，
∴△QMB∽△COB，
∴ ，即 ，
∴BQ= ，
∴OQ=OB-BQ=4-=
∴点Q的横坐标为，
综上，点Q的横坐标为或，
故选：C．