Question

1．如图所示，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，CD∥AB交⊙O于D，∠P=40°．
（1）求∠CAB的度数．
（2）求证：四边形ABCD是矩形．
（3）如果PA=13，CD=10，求⊙O的直径．

Answer 1

分析 （1）首先求出∠AOB的度数，再根据等腰三角形的性质即可解决问题．
（2）由△ACB≌△CAD，推出AB=CD，由AB∥CD，推出四边形ABCD是平行四边形，由∠D=90°，即可解决问题．
（3）在RT△APE中，利用勾股定理求出PE，再由△PAE∽△POA求出OA即可解决问题．

解答 （1）解：连接OB，
∵PA、PB是切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠APB=40°，
∴∠AOB=360°-∠APB-∠PAO-∠PBO=360°-40°-90°-90°=140°，
∵OA=OB，
∴∠CAB=∠OBA=（180°-∠AOB）÷2=20°．

（2）证明：∵AC是⊙O直径，
∴∠CBA=∠D=90°，
∵AB∥CD，
∠CAB=∠ACO，
∵AC=CA，
∴△CAB≌△ACD，
∴AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形．

（3）解：连接PO交AB于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=10，
∵PA、PB是切线，
∴PA=PB，∠APO=∠OPB，
∴OP⊥AB，AE=EB=5，
∴∠PEA=90°，
∴PE=$\sqrt{P{A}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{1{3}^{2}-{5}^{2}}$=12，
∴∠OAB=∠AEP=90°，∠OPA=∠APE，
∴△OPA∽△APE，
∴$\frac{OA}{AE}$=$\frac{PA}{PE}$，
∴$\frac{OA}{5}$=$\frac{13}{12}$，
∴OA=$\frac{65}{12}$，
∴⊙O的直径AC=2OA=$\frac{65}{6}$．

点评 本题考查切线的性质、矩形、平行四边形的判定和性质、全等三角形判定的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．