Question

5．如图，在平面直角坐标系中，O是原点，直线y=$\frac{3}{4}$x-3分别交x轴、y轴于点A、点C，点B在y轴正半轴上，且OB=OA．点D（2，m）在直线AB上，点P是x轴上的一个动点，设点P的横坐标为t．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）连结PB、PD，若△BDP的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$，求t的值；
（3）以PD为斜边作等腰直角三角形PDE，是否存在t的值，使点E落在△ABC的边上？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先求出A、B两点坐标，利用待定系数法即可解决问题．
（2）由题意S_△APB-S_△DPA=$\frac{1}{4}$•S_△ABC，可得$\frac{1}{2}$•|4-t|•4-$\frac{1}{2}$|4-t|•2=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{2}$•7•4，解方程即可．
（3）分两种情形求解①如图2中，以PD为斜边的等腰直角三角形的直角顶点为E或E′，当点E在AB边上时，易知DP⊥OA．②如图3中，当E′在AC边上时，作E′G⊥OP于G，EH⊥OP于H，连接OD、OE′、AE．想办法求出点E′的坐标，利用待定系数法即可解决问题．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{3}{4}$x-3分别交x轴、y轴于点A、点C，
∴A（4，0），C（-3，0），
∴OA=4，OC=3，
∵OB=OA=4，
∴B（4，0），
设直线AB的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-x+4．

（2）如图1中，

∵点D（2，m）在直线AB上，
∴m=-2+4=2，
∴D（2，2），
由题意△BDP的面积等于△ABC面积的$\frac{1}{4}$，
∴S_△APB-S_△DPA=$\frac{1}{4}$•S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$•|4-t|•4-$\frac{1}{2}$|4-t|•2=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{2}$•7•4，
解得t=$\frac{15}{2}$或$\frac{1}{2}$．

（3）①如图2中，以PD为斜边的等腰直角三角形的直角顶点为E或E′，当点E在AB边上时，易知DP⊥OA．

∵BD=AD，DP∥OB，
∴OP=PA=2，
∴P（2，0）．
∴t=2．
②如图3中，当E′在AC边上时，作E′G⊥OP于G，EH⊥OP于H，连接OD、OE′、AE．

∵∠ODA=∠EDE′=90°，
∴∠ODE′=∠ADE，
在∠ODE′和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{DO=DA}\\{∠ODE′=∠ADE}\\{DE′=DE}\end{array}\right.$，
∴△ODE′≌△ADE，
∴OE′=AE，
易证△PEH≌△E′PG，
∴GE′=PH，EH=PG，
∵∠GOE′=∠DOE′-45°，∠OAE=∠90°+∠AEH，
∠OAE=45°+∠DAE=45°+∠DOE′，
∴∠AEH=∠DOE′-45°，
∴∠E′OG=∠AEH，
∵OE′=EH，∠OGE′=∠AHE=90°，
∴△OGE′≌△EHA，
∴OG=EH=PG=$\frac{1}{2}$t，GE′=AH=PH=$\frac{1}{2}$（t-4），
∴E′[$\frac{1}{2}$t，-$\frac{1}{2}$（t-4）]，
∵点E′在直线AC时，直线AC的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-3，
∴-$\frac{1}{2}$（t-4）=$\frac{3}{4}$×$\frac{1}{2}$t-3，
∴t=$\frac{40}{7}$，
综上所述，t=2或$\frac{40}{7}$时，点E落在△ABC的边上．

点评 本题考查一次函数的应用、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．