题目内容

10.(1)已知:x=$\frac{1}{2}$($\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$),y=$\frac{1}{2}$($\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$),求x2+y2与$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$的值.
(2)已知a=$\frac{1}{10-3\sqrt{11}}$,b=$\frac{1}{10+3\sqrt{11}}$,求$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$的值.

分析 (1)先求出x+y与xy的值,再代入代数式进行计算即可;
(2)先把a、b化为最简二次根式的形式,代入代数式进行计算即可.

解答 解:(1)∵x=$\frac{1}{2}$($\sqrt{7}$+$\sqrt{5}$),y=$\frac{1}{2}$($\sqrt{7}$-$\sqrt{5}$),
∴x+y=$\sqrt{7}$,xy=$\frac{1}{2}$,
∴x2+y2=(x+y)2-2xy=7-1=6;
$\frac{y}{x}$+$\frac{x}{y}$=$\frac{{x}^{2}+{y}^{2}}{xy}$=$\frac{6}{\frac{1}{2}}$=12;

(2)∵a=$\frac{1}{10-3\sqrt{11}}$,b=$\frac{1}{10+3\sqrt{11}}$,
∴a=10+3$\sqrt{11}$,b=10-3$\sqrt{11}$,
∴a+b=20,ab=1.
∵a>b,
∴$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$>0,
∴$\sqrt{a}$-$\sqrt{b}$=$\sqrt{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}}$=$\sqrt{a+b-2\sqrt{ab}}$=$\sqrt{20-2}$=$\sqrt{18}$=3$\sqrt{2}$.

点评 本题考查的是分式的化简求值,分式求值题中比较多的题型主要有三种:转化已知条件后整体代入求值;转化所求问题后将条件整体代入求值;既要转化条件,也要转化问题,然后再代入求值.

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