Question

已知△ABC的BC边上的高为12，BC=6，E在AB上运动，平行四边形DEFC的顶点分别在△ABC的三边上，设ED=x．
（1）阴影部分面积为y，求y与x的函数关系式；
（2）x取何值时，平行四边形DEFC的面积有最大值或最小值？其最值是多少？

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,二次函数的最值,平行四边形的性质

专题：计算题

分析：（1）由BC与BC边上的高，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积，由ED与BC平行，得到三角形AED与三角形ABC相似，由相似三角形对应高之比等于相似比表示出DE边上的高，进而确定出平行四边形EFCD边上的高，由底乘以高表示出平行四边形的面积，由三角形ABC面积减去平行四边形面积即可确定出阴影部分面积y与x的函数关系式；
（2）利用二次函数的性质求出阴影部分面积的最小值，进而求出平行四边形面积的最大值即可．

解答：解：（1）∵△ABC的BC边上的高为12，BC=6，
∴S_△ABC=

1

2

×6×12=36，
∵ED∥BC，
∴△AED∽△ABC，
设△AED边ED上的高为h，
∴

ED

BC

=

h

12

，即

x

6

=

h

12

，
∴h=2x，
∴平行四边形EDCF的高为12-2x，
∴S_{平行四边形EDCF}=x（12-2x）=-2x²+12x，
则y=36-（12x-2x²）=2x²-12x+36；
（2）∵y=2x²-12x+36，a=2＞0，
∴y有最小值，即平行四边形EDCF面积有最大值，
∴当x=-

b

2a

=3时，y有最小值

4ac-b2

4a

=18，
则此时S_{平行四边形EDCF}取得最大值36-18=18．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，以及平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．