Question

5．如图，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与x轴、y轴分别交于点A、B；点Q是以C（0，-2）为圆心、2为半径的圆上一动点，过Q点的切线交线段AB于点P，则线段PQ的最小值是2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 过点C作CP⊥直线AB与点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，由点到直线的距离求出CP的长度，再根据勾股定理即可求出PQ的长度．

解答 解：
过点C作CP⊥直线AB于点P，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，此时PQ最小，连接CQ，如图所示．
直线AB的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+3y，即3x+4y-12=0，
∴CP=$\frac{|-8-12|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=4．
∵PQ为⊙C的切线，
∴在Rt△CQP中，CQ=2，∠CQP=90°，
∴PQ=$\sqrt{C{P}^{2}-C{Q}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了切线的性质、点到直线的距离以及勾股定理，解题的关键是确定P、Q点的位置．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，借助于切线的性质寻找到PQ取最小值时点P、Q的位置是关键．