Question

【题目】二次函数（是常数，）的图象与轴交于点和点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．

（1）用含的代数式表示点和点的坐标；

（2）垂直于轴的直线在点与点之间平行移动，且与抛物线和直线分别交于点，设点的横坐标为，线段的长为．

①当时，求的值；

②若，则当为何值时，取得最大值，并求出这个最大值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）①3；②当时，取得最大值，最大值为．

【解析】

（1）纵坐标为0，横坐标为0，将其直接代入二次函数y=（x-5）（x+m）即可求得坐标．

（2）①求p的值，通常利用表达式表示p，此时p恰为不含字母的式子．因为t=2，此时p=yN-yM，这里yM为点M的纵坐标，yN为点N的纵坐标；

②求最值也要首先表示p，不过发现因为C为抛物线与直线的交点，在-m≤t≤0，p=yM-yN，当0≤t≤5时，p=yN-yM．如此要分开讨论最值，然后再综合在一起，讨论时不要遗漏题目中关于m的限制：0＜m≤1．

解：（1）令，得，

解得：，．

∵，

∴．

∵点在点的右侧，

∴，．

令，得．

∴．

∴，．

（2）①设的函数关系式为：．

把代入，解得，

∴．∵，

∴点的纵坐标，

点的纵坐标．

∴．

②∵点的横坐标为，线段的长为，

∴点的纵坐标，

点的纵坐标．

当时，．

当时，取得最大值为．

当时．

此二次函数图象开口向上，对称轴为直线，

∴在时，随的增大而减小，

∴当时，取得最大值为．

设，为对称轴，

∴当时，的值随值的增大而增大．

∴时有最大值3．

∵，

∴当时，取得最大值，最大值为．