Question

【题目】如图，在矩形中，点是边上一点(不与点重合)，点是延长线上一点，且，连接．

（1）求证：

（2）连接，其中

①当四边形是菱形时,求线段与线段之间的距离；

②若点是的内心，连接，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①线段与线段之间的距离为，②．

【解析】

（1）根据已知，利用SAS即可证明；

（2）①因为四边形是菱形，所以AE与DF的距离等于AD与EF之间的距离，即CD为所求，再利用勾股定理即可求解；

②如图作出辅助线，根据△ABE△DCF（SAS），的取值范围即可转化为在△ABE中进行求解，找到E点在B、C两点临界处的∠AED的取值范围，利用三角形内角和=180，即可求得．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC， ∠B=∠BCD=90，

∴∠B=∠DCF=90，

∵BE=CF，

∴△ABE△DCF（SAS）．

（2）解：①∵四边形AEFD是菱形，

∴ AE与DF的距离等于AD与EF之间的距离，即CD的长，

∵AC=，BC=AD=6，在△ADC中，

∴，

∴线段AE与线段DF之间的距离为．

②∵△ABE△DCF，

∴△DCF的内心即为△ABE的内心，

如图：作出∠AEB、∠ABE的角平分线BQ、EQ，

则∠BQE=∠CIF, ∠BQE即为所求，

∵∠ABE恒等于90，

∴∠ABE恒等于45，

∵当点E在点B处时，∠AEB=90，

当点E在点C处时，在Rt△ABE 中，AB=AC，知∠AEB=30，

∴所以30∠AEB，

∴15∠AEB，

∴ ∠ABE+∠AEB，

即∠ABE+∠AEB，

而∠BQE=180-∠ABE+∠AEB，

∴∠BQE，

即∠BQE．

即∠CIF．

故 90∠CIF．