Question

【题目】如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，D为的中点，过D作DF⊥AB于点E，交⊙O于点F，交弦BC于点G，连接CD，BF．

（1）求证：△BFG≌△DCG；

（2）若AC＝10，BE＝8，求BF的长；

（3）在（2）的条件下，P为⊙O上一点，连接BP，CP，弦CP交直径AB于点H，若△BPH与△CPB相似，求CP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BF＝4；（3）PC＝17．

【解析】

（1）证明BF＝CD，而∠BFG＝∠DCG，∠BGF＝∠DGC，则△BFG≌△DCG（AAS）；

（2）证明OM是△ABC的中位线，进而在Rt△BEF中，利用勾股定理求解即可；

（3）证明∠ACP＝∠BCP＝45°，在Rt△CBN中，CN＝BN＝BC＝12，而∠CAB＝∠CPB，则tan∠CAB＝tan∠CPB，即可求解．

（1）∵D是的中点，则=,

∵AB为⊙O的直径，DF⊥AB，

∴=，

∴=，

∴BF＝CD，

又∵∠BFG＝∠DCG，∠BGF＝∠DGC，

∴△BFG≌△DCG（AAS）；

（2）如图1，连接OD交BC于点M，

∵D为的中点，

∴OD⊥BC，∴BM＝CM，

∵OA＝OB，

∴OM是△ABC的中位线，

∴OM＝AC＝5，

∵=，

∴=，

∴OE＝OM＝5，

∴OD＝OB＝OE+BE＝5+8＝13，

∴EF＝DE＝＝12，

∴BF＝＝4；

（3）如图2，

∵弦CP交AB于点H，则点P与点C在直径的两侧，则∠CBP＞∠HBP，

又∵∠CPB＝∠BPH，

∴∠ACP＝∠BCP，

∵AB是直径，则∠ACB＝∠APB＝90°，

∴∠ACP＝∠BCP＝45°，

过点B作BN⊥PC于点N，由（2）得AB＝26，

在Rt△CBN中，CN＝BN＝BC＝12，

∵∠CAB＝∠CPB，

∴tan∠CAB＝tan∠CPB＝，即=，故PN＝5，

∴PC＝CN+PN＝5+12＝17．