Question

【题目】是等边三角形，为平面内的一个动点，，平分，且．

（1）当与重合时(如图1)，求的度数；

（2）当在的内部时(如图2)，求的度数；

（3）当在的外部时，请你直接写出的度数为　　　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）30°或150°

【解析】

（1）由于P，A重合，DP=DB，∠DBP=∠BPD，因为DB是∠PBC的平分线，可得∠DBP=∠BPD=30°；
（2）连接CD，由“SAS”可证△PBD≌△CBD，可得∠BPD=∠BCD，由“SSS”可证△BCD≌△ACD，可得∠BCD=∠ACD=∠ACB=30°，即可求解；
（3）分三种情况：①当BP在AB的左侧，BD在△ABC内部时；②当BP，BD都在三角形外部，且∠BPD为锐角时；③当BP，BD都在△ABC外部，且∠BPD为钝角时，同(2)中的步骤分别求解．连接CD，步骤有2个，一是证明△PBD≌△CBD，从而得出∠BPD=∠BCD，二是证明△BCD≌△ACD，得出∠BCD=∠ACD，从而可得出结果．

解：（1）∵是等边三角形，

∴，

∵平分，

∴，

∴

∵，

∴；

(2)连接，

∵点在的平分线上，

∴，

∵是等边三角形，

∴．

在和中，

，

∴．

∴．

在和中，

，

∴，

∴，

∴；

（3）如图3，连接CD，

同（2）可得△ACD≌△BCD（SSS），
∴∠ACD=∠BCD=30°，

同（2）可得△PBD≌△CBD（SAS），
∴∠BPD=∠BCD=30°；
如图4，连接CD，

同理可得△ACD≌△BCD（SSS），
∴∠ACD=∠BCD=30°，

同理可得△PBD≌△CBD（SAS），
∴∠BPD=∠BCD=30°；
如图5，连接CD，

同理可得△ACD≌△BCD（SSS），
∴∠ACD=∠BCD=（360°-60°）÷2=150°，

同理可得△PBD≌△CBD（SAS）
∴∠BPD=∠BCD=150°．

综上可知，∠BPD的度数为30°或150°，

故答案为：30°或150°．