Question

如图，在等腰梯形OABC中，CB∥OA，∠COA=60°BC=2，OA=4，且与x轴重合．
（1）直接写出点A、B、C的坐标；
（2）求经过点O、A、B的抛物线解析式，并判断点C是否在抛物线上；
（3）在抛物线的OCB段，是否存在一点P（不与O、B重合），使得四边形OABP的面积最大？若存在，求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）A点坐标可根据OA的长获得；过B作BM⊥OA于M，利用等腰梯形的对称性可求得AM的长，已知∠COA=∠BAO=60°，即可求得BM的长，从而得到B、C的坐标．
（2）已知了抛物线图象上的三点坐标，可利用待定系数法求得该抛物线的解析式，然后将点C的坐标代入抛物线中进行验证即可．
（3）连接OB，易求得直线OB的解析式；过P作直线PD⊥x轴，交OB于D，设出点P的横坐标，根据抛物线和直线OB的解析式，可表示出P、D的纵坐标，即可得到PD的长；由于四边形OPBA中，△ABO的面积是定值，所以当四边形OPBA的面积最大时，△OBP的面积最大，此时PD的值最大，可根据得到的关于PD和P点横坐标的函数关系式，求得PD的最大值及对应的P点坐标．

解答：解：（1）过B作BM⊥OA于M，则AM=1；
在Rt△BMA中，AM=1，∠BAM=∠COA=60°，
∴BM=

3

AM=

3

，OM=4-AM=3；
∴B（3，

3

），
同理得C（1，

3

）；
故：A（4，0），B(3，

3

)，C(1，

3

)．

（2）依题意设y=ax（x-4），又B(3，

3

)在该函数图象上，
∴-3a=

3

，
解得：a=-

3

3

，
∴y=-

3

3

x2+

4 3

3

x；
当x=1时，y=

3

，
故点C(1，

3

)在该函数图象上．

（3）如图，
连接OB，在抛物线上取点P，过P作PD⊥x轴，交OB于D，连接OP、BP；
则过OB的直线的解析式为y=

3

3

x，
∵S_△OAB为定值，
∴使S_△OPB最大，则四边形OPBA的面积最大；
∵PD=yP-yD=-

3

3

x2+

4 3

3

x-

3

3

x=-

3

3

x2+

3

x=-

3

3

(x-

3

2

)2+

3 3

4

，
∴当x=

3

2

时，PD最大，
将x=

3

2

代入y=-

3

3

x2+

4 3

3

x中，
得y=

5 3

4

；
此时P点的坐标为P(

3

2

，

5 3

4

)．

点评：此题主要考查了等腰梯形的性质、直角三角形的性质、二次函数解析式的确定、函数图象上点的坐标意义以及图形面积的求法等重要知识；类似于（3）题求面积最大（小）值问题，通常转化为二次函数的最值问题来解．