Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD垂足为O，过点D作DE⊥BC于E，以下五个结论：①∠ABC=∠DCB；②OA=OD；③∠BCD=∠BDC；④S_△AOB=S_△DOC；⑤DE=

AD+BC

2

．其中正确的是（　　）

A．①②⑤

B．①④⑤

C．②③④

D．①②④⑤

Answer 1

分析：根据等腰梯形的性质可直接得出①②正确，因为不能证明BD=BC，故无法得出③∠BCD=∠BDC，证明△AOD≌△DOC可得出结论④，过点D作DF∥AC，则利用等腰三角形三线合一的性质可证明结论⑤．

解答：解：∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴可得：①∠ABC=∠DCB；②OA=OD；
∵BD≠BC，
∴∠BCD≠∠BDC，即③不正确；
在△AOD和△DOC中，
∵

OA=OD OB=OC ∠AOD=∠DOC

，
∴△AOD≌△DOC，
∴S_△AOB=S_△DOC；即④正确；
过点D作DF∥AC，

∵AD∥BC，AC⊥BD，
∴BD⊥DE，BD=DF，
∴△BDF是等腰直角三角形，
故DE=

1

2

BF=

AD+BC

2

．即⑤正确．
故选D．

点评：此题考查了等腰梯形的性质，涉及了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键还是基本知识的掌握，及等腰梯形经常进行的辅助线作法．