Question

如图所示，在矩形ABCD中，E为BC中点，ED交AC于点P，DQ⊥AC于点Q，AB=kBC．
（1）当k=1时，

CP

AC

=

 

；
（2）当k=

2

时，求证PQ=CP；
（3）当k=

 

时，

S△CEP

S△ADQ

=

1

4

．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的判定得出ABCD是正方形，进而得出

CE

AD

=

CP

AP

，即可得出答案；
（2）利用已知证明出△ADQ∽△DCQ∽△ACD，进而得出QC=2AQ，以及AQ=

1

3

AC=PC；
（3）利用三角形面积比得出

CE

AD

=

PE

PD

=

CP

AP

=

1

2

，即可得出

AB

BC

=

2

2

．

解答：解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=BC，
∴矩形ABCD是正方形，
∵AD∥EC，
∴

CE

AD

=

CP

AP

，
∵E为BC中点，
∴

CE

AD

=

CP

AP

=

1

2

，
∴

CP

AC

=

1

3

；
故答案为：

1

3

；

（2）∵Rt△ACD中，DQ⊥AC，
∴△ADQ∽△DCQ∽△ACD，
∴AD²=AQ•AC，CD²=CQ•AC，
∴

AQ

QC

=

AD2

CD2

=(

1

k

)2=

1

2

∴QC=2AQ，
又

AP

PC

=

AD

EC

=2，∴AP=2PC，
∴AQ=PQ=PC；

（3）

2

2

．
∵

S△CEP

S△ADP

=

1

4

，当

S△CEP

S△ADQ

=

1

4

时，则点P与点Q重合．
∵

CE

AD

=

PE

PD

=

CP

AP

=

1

2

设PE=a，PC=b，则PD=2a，PA=2b，则CD²=2a×3a=b×3b，
∴b=

2

a，
∵

CD

AD

=

PC

PD

=

2 a

2a

=

2

2

，
∴

AB

BC

=

2

2

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定及性质和正方形的判定等知识，根据已知灵活应用相似三角形的性质是解决问题的关键