Question

9．将乘法公式适当变形使用，有时可以给解题带来意想不到的帮助．比如我们可以将完全平方公式进行如下变形：
①a²+b²=$\frac{（a+b）^{2}+（a-b）^{2}}{2}$；
②ab=$\frac{1}{4}$（a+b）²-$\frac{1}{4}$（a-b）²．
试用以上变形解决下面的问题：
已知自然数a和b，a+b=40．
（1）求a²+b²的最小值；
（2）求ab的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据题意表示出a、b的关系，根据配方法和非负数的性质解答即可；
（2）根据题意表示出a、b的关系，根据配方法和非负数的性质解答即可．

解答 解：（1）∵a+b=40，
∴b=40-a，
∴a²+b²=2a²-80a+1600
=2（a-20）²+800，
∴a²+b²的最小值是800；
（2）ab=a（40-a）
=40a-a²
=-（a-20）²+400，
∴ab的最大值是400．

点评 本题考查的是配方法的应用，正确运用配方法把代数式进行变形是解题的关键，注意完全平方的非负性的应用．