Question

2．如图，己知AB=8，以AB为斜边作Rt△ABC，∠ACB=90°，过点C作AB的平行线，再过点A作AB的垂线，使两线相交于点D．设AC=x，DC=y，则（x-y）的最大值是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 2.5
• D． 3.5

Answer 1

分析 证△ABC∽△CAD得$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{CD}$，即可知y=$\frac{1}{8}$x²，从而有x-y=x-$\frac{1}{8}$x²=-$\frac{1}{8}$（x-4）²+2，可得答案．

解答 解：∵∠DAB=90°、CD∥AB，
则∠ADC=∠BCA=90°，∠ACD=∠BAC，
∴△ABC∽△CAD，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{AC}{CD}$，即$\frac{8}{x}=\frac{x}{y}$，
则y=$\frac{1}{8}$x²，
∴x-y=x-$\frac{1}{8}$x²=-$\frac{1}{8}$（x-4）²+2，
∴x-y的最大值为2，
故选：A．

点评 本题主要考查相似三角形的判定与性质、二次函数的最值，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．