Question

15．（1）如图1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE=AC，过点E作EF∥BC交AD于点F．求证：四边形CDEF是菱形；
（2）如图2，△ABC中，AD平分△ABC的外角∠EAC交BC的延长线于点D，在BA的延长线上截取AE=AC，过点E作EF∥BC交DA的延长线于点F．四边形CDEF还是菱形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接由SAS得出△ADE≌△ADC，进而得出DE=DC，∠ADE=∠ADC．再由SAS证明△AFE≌△AFC，得出EF=CF．由EF∥BC得出∠EFD=∠ADC，从而∠EFD=∠ADE，根据等角对等边得出DE=EF，从而DE=EF=CF=DC，由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形．
（2）首先由SAS证出△ADE≌△ADC，△AFE≌△AFC，得出DE=DC，∠ADE=∠ADC，EF=CF．然后由EF∥BC，得出∠EFD=∠ADC，从而∠EFD=∠ADE，根据等边对等角得出DE=EF，则DE=EF=CF=DC，由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形．

解答 （1）证明：在△ADE和△ADC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAF=∠CAF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△ADC（SAS）；
∴DE=DC，∠ADE=∠ADC
同理△AFE≌△AFC，
∴EF=CF
∵EF∥BC
∴∠EFD=∠ADC，
∴∠EFD=∠ADE，
∴DE=EF，
∴DE=EF=CF=DC，
∴四边形CDEF是菱形．

（2）解：四边形CDEF是菱形．理由如下：
在△ADE和△ADC中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AE=AC}\\{∠EAF=∠CAF}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△ADE≌△ADC（SAS），
∴DE=DC，∠ADE=∠ADC．
同理△AFE≌△AFC，
∴EF=CF．
∵EF∥BC，
∴∠EFD=∠ADC，
∴∠EFD=∠ADE，
∴DE=EF，
∴DE=EF=CF=DC，
∴四边形CDEF是菱形．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定、平行线等知识，正确利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键．