Question

10．已知菱形ABCD的对角线AC=2$\sqrt{2}$+2，BD=2$\sqrt{2}$-2，求菱形的周长和面积．

Answer 1

分析 先根据菱形的性质得AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$+1，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$-1，再在Rt△AOB中利用勾股定理计算出AB=$\sqrt{6}$，然后根据菱形的周长定义和面积公式求解．

解答 解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$+1，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{2}$-1，
在Rt△AOB中，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{（\sqrt{2}+1）^{2}+（\sqrt{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{6}$，
∴菱形的周长=4AB=4$\sqrt{6}$；
菱形的面积=$\frac{1}{2}$AC•BD=$\frac{1}{2}$•（2$\sqrt{2}$+2）（2$\sqrt{2}$-2）=2．

点评 本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形的面积等于对角线乘积的一半．