Question

14．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）如图所示，下列结论中：
①4ac-b²＜0；
②3b+2c＜0；
③4a+c＜2b；
④m（am+b）+b＜a（m≠-1）．
其中正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 由图象开口向下可以得到a＜0；图象与x轴有两个交点则b²-4ac＞0；对称轴为直线x=-1；当x=1时，y＜0；通过这些条件，结合对函数解析式的变式分析就可以得出结果．

解答 解：∵图象与x轴有两个交点，
∴b²-4ac＞0，
所以①正确；
∵图象的对称轴为直线x=-1，
∴$-\frac{b}{2a}$=-1，解得b=2a，
∵从图象可知，当x=1时，y＜0，
∴a+b+c＜0
2a+2b+2c＜0
3b+2c＜0，
所以②正确；
∵图象的对称轴为直线x=-1，当x=0时，y=c＞0
∴当x=-2时，y＞0
∴4a-2b+c＞0  则有4a+c＞2b
所以③错误；
由式子④整理得am²+bm+b-a＜0
把b=2a代入得 am²+2am+a＜0
在不等式两边都除以a，由于抛物线开口向下，故a＜0，则不等号方向应改变，整理得
m²+2m+1＞0 配方得 （m+1）²＞0
∵m≠-1
∴（m+1）²＞0成立
所以④正确．
故选：C．

点评 本题考查了二次函数的解析式与图象的关系，解答此题的关键是要明确a的符号决定了抛物线开口方向；通过对称轴可得到a与b的关系；抛物线与x轴的交点个数，决定了b²-4ac的符号．