Question

如图，在锐角三角形纸片ABC中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．
（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．
①判断
四边形DECF一定是什么形状？
②裁剪
当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；
（2）折叠
请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．

Answer 1

考点：四边形综合题,二次函数的最值,菱形的判定,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题,探究型

分析：（1）①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，②根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出高h与x之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于h的二次函数表达式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值．
（2）第一步BC边向AC边折叠，使BC与AC重合，得到折痕交AB于D（CD为∠ACB对角线）；第二步C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F；通过上述两次折叠，得到点：DECF，组成的四边形为菱形．

解答：解：（1）如图1，①∵DE∥AC，DF∥BC，
∴四边形DECF是平行四边形．
②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，
∵∠ACB=45°，AC=24cm
∴AG=

1 2 ×AC2

=12

2

cm，
设DF=EC=x，平行四边形的高为h，
则AH=12

2

-h，
∵DF∥BC，
∴△ADF∽△ABC，
∴

DF

BC

=

12 2 -h

12 2

，
∵BC=20cm，
即：

x

20

=

12 2 -h

12 2

∴x=

12 2 -h

12 2

×20，
∵S=xh=x•

12 2 -h

12 2

×20h=20h-

5 2

6

h²．
∴h=-

b

2a

=-

20

-2× 5 2 6

=6

2

，
∵AG=12

2

cm，
∴AF=FC，
∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．


（2）①BC边向AC边折叠，使BC与AC重合，得到折痕交AB于D（CD为∠ACB的角平分线）；
②C点向AB边折叠，使C点与D点重合，得到折痕交BC边于E，交AC边于F；
通过上述两次折叠，得到点：DECF，组成的四边形为菱形．
理由：∵CD和EF是四边形DECF对角线，而CD和EF互相垂直且平分，
∴四边形DECF是菱形．

点评：本题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表达式，求出二次函数表达式，即可求出结论．