Question

4．已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x=-1对称，且AB=6，顶点在函数y=2x的图象上，则这个二次函数的表达式为y=$\frac{2}{9}$x²+$\frac{4}{9}$x-$\frac{16}{9}$．

Answer 1

分析 利用二次函数y=x²+bx+c的对称轴为直线x=-1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=6，利用抛物线的对称性可求A、B两点的坐标，根据顶点在函数y=2x的图象上，求得顶点坐标，然后利用待定系数法求得解析式即可．

解答 解：∵对称轴为直线x=-1，且图象与x轴交于A、B两点，AB=6，
∴直线与x轴交于（-4，0），（2，0），顶点的横坐标为-1，
∵顶点在函数y=2x的图象上，
∴y=2×（-1）=-2，
∴顶点坐标为（-1，-2），
设二次函数的解析式为y=a（x+1）²-2，
把（2，0）代入得，0=9a-2，
解得，a=$\frac{2}{9}$．
∴y=$\frac{2}{9}$（x+1）²-2=$\frac{2}{9}$x²+$\frac{4}{9}$x-$\frac{16}{9}$；
∴这个二次函数的表达式为y=$\frac{2}{9}$x²+$\frac{4}{9}$x-$\frac{16}{9}$；
故答案为y=$\frac{2}{9}$x²+$\frac{4}{9}$x-$\frac{16}{9}$．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与横轴的交点问题、以及抛物线的对称问题．