Question

12．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系
（1）已知AB平行于CD，如a图，当点P在AB、CD外部时，∠BPD+∠D=∠B即∠BPD=∠B-∠D，为什么？请说明理由．如b图，将点P移动到AB、CD内部，以上结论是否仍然成立？若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请说明结论；
（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD、∠B、∠D、∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）
（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

Answer 1

分析 （1）①利用平行线的性质和三角形的外角即可；②利用平行线的特点作出平行线，再利用平行线的性质即可；
（2）利用三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和即可；
（3）利用三角形的外角的性质把角转化到四边形CDHM中，用四边形的内角和即可．

解答 解：（1）①∵AB∥CD，
∴∠B=∠COP，
∵∠COP=∠BPD+∠D，
∴∠B=∠BPD+∠D，
即：∠BPD=∠B-∠D，
②不成立，
结论：∠BPD=∠B+∠D，
理由：如图b，

过点P作PG∥AB，
∴∠B=∠BPG，
∵PG∥AB，CD∥AB，
∴PG∥CD，
∴∠DPG=∠D，
∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=∠B+∠D；
（2）结论：∠DPQ=∠B+∠BQD+∠D，
理由：如图c，

连接QP并延长，
∵∠BP∠G是△BPQ的外角，
∴∠BPG=∠B+∠BQP，
同理：∠DPG=∠D+∠DQP，
∴∠BPD=∠BPG+∠DPG=∠B+∠BQP+∠DQP+∠D=∠B+∠BQD+∠D；
（3）如图d，

∵∠DHM是△BFH的外角，
∴∠DHM=∠B+∠F，
同理：∠CMH=∠A+∠E，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠DHM+∠CMH+∠C+∠D=360°．

点评 此题是四边形的性质，主要考查了平行线的性质和判定，三角形的外角的性质，四边形的内角和，解本题的关键是作出辅助线，是一个比较简单也比较典型的中考常考题．