Question

4．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角△ACD，则线段BD的长是多少？请画出图形并求解．

Answer 1

分析 分三种情况讨论：①当AD为斜边时，如图1，BD=2BE，求BE的长即可；②当CD为斜边时，如图2，BD就是两个AB的长；③当AC为斜边时，如图3，BD就是△BCD的斜边长．

解答 解：①当AD为斜边时，如图1，
∴AC=CD=2，∠ACD=90°，
∴∠ACD=∠BAC=90°，
∵AB=2，
∴AB=CD，
∵∠AEB=∠DEC，
∴△ABE≌△CDE，
∴BE=DE，AE=EC，
∴AE=EC=1，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴BD=2$\sqrt{5}$，
②当CD为斜边时，如图2，则AD=AC=2，∠DAC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAC+∠BAC=90°+90°=180°，
∴B、A、D共线，
∴BD=AB+AD=2+2=4，
③当AC为斜边时，如图3，
∴∠ADC=90°，
∴AD=CD=$\frac{AC}{\sqrt{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵∠BCA=45°，∠ACD=45°，
∴∠BCD=90°，
∵AB=AC=2，
由勾股定理得：BC=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
综上所述：BD=2$\sqrt{5}$或4或$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，也考查了复杂的几何作图；复杂的几何作图一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；本题利用等腰直角三角形边和角的特殊性与勾股定理、全等三角形相结合，求出边的长．