Question

5．如图，Rt△AOC中，O为坐标原点，OA=2，OC=4，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到△DOB，抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C．
（1）抛物线的解析式；
（2）若点P是第一象限内抛物线上的动点，点P的横坐标为t，
①设抛物线对称轴l与x轴交于一点E，连接PE交BD于F，求出当△BEF与△BOD相似时点P的坐标；
②是否存在一点P，使△PBD的面积最大？若存在，求出△PBD的面积的最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由旋转的性质分别得出A、B、C三点的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）①由△BOD是直角三角形，所以当△BEF与△BOD相似时，△BEF也是直角三角形，而点B不可能是直角顶点，所以要分两种情况：
当∠BEF=90°时，△BEF∽△BOD．此时点P在对称轴上，如图1，
当∠BFE=90°时，△BFE∽△BOD，利用△EFB∽△EMP．列比例式得：MP=2EM．设P（t，-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+t+4），列方程可得点P的坐标；
②如图3，求直线BD的解析式，表示点N的坐标，求PN的长，利用面积和表示△PBD的面积，配方后根据二次函数的最值得到△PBD的面积的最大值．

解答 解：（1）在Rt△AOC中，OA=2，OC=4，
∵△DOB是由△AOC绕点O顺时针旋转90°而得到的，
∴△DOB≌△AOC，
∴OC=OB=4，OD=OA=2，
∴A、B、C的坐标分别为（-2，0），（4，0），（0，4），
代入解析式得，c=4，
$\left\{\begin{array}{l}{4a-2b+4=0}\\{16a+4b+4=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{1}{2}}\\{b=1}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+x+4；

（2）①∵抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+x+4，
∴对称轴l为直线x=1，
∴E点的坐标为（1，0）．
当∠BEF=90°时，△BEF∽△BOD．此时点P在对称轴上，如图1，
即点P为抛物线的顶点，
∴P（1，$\frac{5}{4}$）；
当∠BFE=90°时，△BFE∽△BOD，如图2，过点P作PM⊥x轴于点M，则△EFB∽△EMP．
∴$\frac{EM}{MP}=\frac{EF}{FB}=\frac{DO}{OB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$，
∴MP=2EM．设P（t，-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+t+4）．
∵P点在一象限，
∴PM=-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+t+4，EM=t-1，
∴-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+t+4=2（t-1）
解得：t₁=-1+$\sqrt{13}$，t₂=-1-$\sqrt{13}$（不合题意，舍去），
∴当t=-1+$\sqrt{13}$时，y=-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+t+4=-4=2$\sqrt{13}$．
∴P（-1+$\sqrt{13}$，-4+2$\sqrt{13}$）．   
∴当△BEF与△BOD相似时，P点的坐标为：（1，$\frac{5}{4}$）或（-1+$\sqrt{13}$，-4+2$\sqrt{13}$）；
②存在．设直线BD的解析式为y=kx+b，
由题意，得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线CD的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2．
设PM与BD的交点为N，点N的坐标为（t，-$\frac{1}{2}$t+2），
∴PN=PM-NM=-$\frac{1}{2}{t}^{2}$+t+4-（-$\frac{1}{2}$t+2）=-$\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{3}{2}t+2$，
∵S_△PBD=S_△PBN+S_△PDN=$\frac{1}{2}$PN•BM+$\frac{1}{2}$PN•OM=$\frac{1}{2}$PN（BM+OM）=$\frac{1}{2}$PN•OB，
=$\frac{1}{2}$×4（-$\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{3}{2}t+2$）=-（t-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{4}$，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，S_△PBD的最大值为$\frac{25}{4}$．

点评 本题是二次函数的综合题，着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、相似三角形的判定等重要知识点，综合性强，能力要求较高，要求学生掌握数形结合的数学思想方法，并采用了分类讨论的思想．