Question

如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AB边上一点，若AE=2，求EM+BM的最小值．

Answer 1

分析：要求EM+BM的最小值，需考虑通过作辅助线转化EM，BM的值，从而找出其最小值求解．

解答：解：连接CE，与AD交于点M．则CE就是BM+ME的最小值．
取BE中点F，连接DF．
∵等边△ABC的边长为6，AE=2，
∴BE=AB-AE=6-2=4，
∴BF=FE=AE=2，
又∵AD是BC边上的中线，
∴DF是△BCE的中位线，
∴CE=2DF，CE∥DF，
又∵E为AF的中点，
∴M为AD的中点，
∴ME是△ADF的中位线，
∴DF=2ME，
∴CE=2DF=4ME，
∴CM=

3

4

CE．
在直角△CDM中，CD=

1

2

BC=3，DM=

1

2

AD，
CM=

CD2+MD2

=

3 7

2

，
CE=

4

3

×

3 7

2

=2

7

，
∵BM+ME=CE，
∴BM+ME的最小值为2

7

．

点评：此题主要考查了轴对称-最短路线问题和等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用，根据已知得出M点位置是解题关键．