Question

如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点B作经过点C的直线CD的垂线，垂足为E （即BE⊥CD），BE交⊙O于点F，且BC平分∠ABE．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若AB=10，CE=4，求线段EF的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：证明题

分析：（1）连结OC，如图，先由BC平分∠ABE得的∠1=∠2，加上∠1=∠3，则∠2=∠3，于是可判断OC∥BE，然后根据平行线的性质可得到OC⊥CD，则可根据切线的判定定理得到CD为⊙O的切线；
（2）连结AF，交OC于H，如图，先证明四边形CHFE为矩形得到HF=CE=4，CH=EF，OH⊥AF，利用垂径定理得AH=HF=4，然后在Rt△OAH中根据勾股定理计算出OH=3，再计算出CH的长，从而得到EF的长．

解答：（1）证明：连结OC，如图，
∵BC平分∠ABE，
∴∠1=∠2，
∵OB=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OC∥BE，
∵BE⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：连结AF，交OC于H，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵∠OCE=∠CEF=90°，
∴四边形CHFE为矩形，
∴HF=CE=4，CH=EF，OH⊥AF，
∴AH=HF=4，
在Rt△OAH中，∵OA=5，AH=4，
∴OH=

OA2-AH2

=3，
∴CH=OC-OH=5-3=2，
∴EF=2．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．