Question

在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tan∠ABM=

 

．

Answer 1

分析：根据∠NMB=∠MBC，延长MN，BC相交于T，得到等腰△TBM，连接点T和MB的中点，得到相似三角形，然后由相似三角形的性质进行计算，求出∠ABM的正切．

解答：解：如图：延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则OT⊥BM，
∵∠ABM+∠MBT=90°，
∠OTB+∠MBT=90°，
∴∠ABM=∠OTB，则△BAM∽△TOB，
∴

AM

OB

=

MB

BT

，即

AM

MB

=

OB

BT

，即MB²=2AM•BT ①
令DN=1，CT=MD=K，则：AM=2-K，BM=

4+(2-K)2

，BT=2+K，
代入①中得：4+（2-K）²=2（2-K）（2+K），
解方程得：K₁=0（舍去），K₂=

4

3

．
∴AM=2-

4

3

=

2

3

．
tan∠ABM=

AM

AB

=

2 3

2

=

1

3

．
故答案是：

1

3

．

点评：本题考查的是解直角三角形，运用正方形的性质，根据题目中角的关系，判断两个三角形相似，然后用相似三角形的性质进行计算，求出直角三角形中边的长度，再用正切的定义求出角的正切值．