Question

已知，Rt△ABC中，AC=BC=24，⊙O和边BC相切于点D．
（1）如图，∠C的平分线交边AB于点O，求证：AC与⊙O相切；
（2）当⊙O经过点A时，设点E，F分别为⊙O与边AC，AB的另一个交点，连接EF，若点E正好为AC的三等分点，求线段EF的长．

Answer 1

考点：切线的判定与性质

专题：

分析：（1）连接OC、OD，作OG⊥AC于E，根据等腰三角形三线合一，得出OA=OB，根据平行线的性质求得OD=

1

2

AC，OG=

1

2

BC，从而求得OG=OD，即可证得结论；
（2）作OM⊥AE，连接OD，先求得四边形MCDO是矩形，根据已知求得AE=16，EC=8，根据垂径定理求得AAM=ME=8，进而求得MC=OD=16，从而求得半径为16，进而求得直径EN=32，然后解等腰直角三角形的性质求得EF．

解答：（1）证明；如图1，连接OC、OD，作OG⊥AC于E，
∵Rt△ABC中，AC=BC=24，OC平分∠ACB，
∴OA=OB，
∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC，
∴OD∥AC，
∴OD=

1

2

AC，
∵OG⊥AC，
∴OG∥BC，
∴OG=

1

2

BC，
∴OG=OD，
∴OG是⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切；
（2）解：如图2，作OM⊥AE，连接OD，
∵点E正好为AC的三等分点，
∴AE=

2

3

AC=

2

3

×24=16，
∴EC=8，
∴ME=MA=8，
∴MC=16，
∵BC是切线，
∴OD⊥BC，
∴四边形MCDO是矩形，
∴OD=MC=16，
∴⊙O的半径为16，
∴EN=32，
∵Rt△ABC中，AC=BC=24，
∴∠A=∠B=45°，
∵∠A=∠N=45°，
∵EN是直径，
∴∠EFN=90°，
∴△EFN是等腰直角三角形，
∴EF=

2

2

EN=

2

2

×32=16

2

．

点评：本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定和性质，平行线的性质，矩形的判定和性质，三角形的中位线定理等，作出辅助线构建矩形是本题的关键．