Question

8．如图，∠AOB=45°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一动点Q，OB上有一动点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（　　）

• A． 10
• B． 10$\sqrt{2}$
• C． 20
• D． 20$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 作点P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂与OA、OB分别相交于点Q、R，根据轴对称的性质可得PQ=P₁Q，PR=P₂R，从而得到△PQR的周长=P₁P₂并且此时有最小值，连接P₁O、P₂O，再求出△P₁OP₂为等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求解即可．

解答 解：如图，作点P关于OA的对称点P₁，关于OB的对称点P₂，连接P₁P₂与OA、OB分别相交于点Q、R，
所以，PQ=P₁Q，PR=P₂R，
所以，△PQR的周长=PQ+QR+PR=P₁Q+QR+P₂R=P₁P₂，
由两点之间线段最短得，此时△PQR周长最小，
连接P₁O、P₂O，则∠AOP=∠AOP₁，OP₁=OP，∠BOP=∠BOP₂，OP₂=OP，
所以，OP₁=OP₂=OP=10，∠P₁OP₂=2∠AOB=2×45°=90°，
所以，△P₁OP₂为等腰直角三角，
所以，P₁P₂=$\sqrt{2}$OP₁=10$\sqrt{2}$，
即△PQR最小周长是10$\sqrt{2}$．
故选B．

点评 本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，等腰直角三角形的判定与性质，难点在于作辅助线得到与△PQR周长相等的线段．