Question

5．已知抛物线C₁：y=ax²+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）的顶点为M，经过原点O且与x轴另一交点为A．
（1）求点A的坐标；
（2）若△AMO为等腰直角三角形，求抛物线C₁的解析式；
（3）现将抛物线C₁绕着点P（m，0）旋转180°后得到抛物线C₂，若抛物线C₂的顶点为N，当b=1，且顶点N在抛物线C₁上时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线经过原点可知当x=0时，y=0，由此可得关于x的一元二次方程，解方程即可求出抛物线x轴另一交点坐标；
（2）由△AMO为等腰直角三角形，抛物线的顶点为M，可求出b的值，再把原点坐标（0，0）代入求出a的值，即可求出抛物线C₁的解析式；
（3）由b=1，易求线抛物线C₁的解析式，设N（n，-1），再由点P（m，0）可求出n和m的关系，当顶点N在抛物线C₁上可把N的坐标代入抛物线即可求出m的值．

解答 解：（1）∵抛物线C₁：y=ax²+4ax+4a+b（a≠0，b＞0）经过原点O，
∴0=4a+b，
∴当ax²+4ax+4a+b=0时，则ax²+4ax=0，
解得：x=0或-4，
∴抛物线与x轴另一交点A坐标是（-4，0）；
（2）∵抛物线C₁：y=ax²+4ax+4a+b=a（x+2）²+b（a≠0，b＞0），（如图1）
∴顶点M坐标为（-2，b），
∵△AMO为等腰直角三角形，
∴b=2，
∵抛物线C₁：y=ax²+4ax+4a+b=a（x+2）²+b过原点，
∴a（0+2）²+2=0，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线C₁：y=-$\frac{1}{2}$x²-2x；
（3）∵b=1，抛物线C₁：y=ax²+4ax+4a+b=a（x+2）²+b过原点，（如图2）
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴y=-$\frac{1}{4}$（x+2）²+1=-$\frac{1}{4}$x²-x，
设N（n，-1），又因为点P（m，0），
∴n-m=m+2，
∴n=2m+2
即点N的坐标是（2m+2，-1），
∵顶点N在抛物线C₁上，
∴-1=-$\frac{1}{4}$（2m+2+2）²+1，
解得：m=-2+$\sqrt{2}$或-2-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换．由于抛物线旋转后的形状不变，故|a|不变，所以求旋转移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点旋转移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑旋转后的顶点坐标，即可求出解析式．