Question

【题目】（2018郑州模拟）如图，抛物线过点，与y轴交于点C．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）如图①，直线l的解析式为，抛物线的对称轴与线段BC交于点P，过点P作直线l的垂线，垂足为点H，连接OP，求的面积；

（3）把图①中的直线向下平移4个单位长度得到直线，如图②，直线与x轴交于点G．点P是四边形ABCO边上的一点，过点P分别作x轴、直线l的垂线，垂足分别为点E、F．是否存在点P，使得以P、E、F为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，点坐标为(0，4)或或(4，6)或．

【解析】

解：(1)∵抛物线过点，

，

解得，

∴抛物线的解析式为；

(2)∵该抛物线的对称轴为直线

，

，

如解图①，延长交轴于点，∵直线的解析式为，

均为等腰直角三角形，

，

，

可得．

；

(3)存在满足条件的点，点坐标为(0，4)或或(4，6)或时，以为顶点的三角形是等腰三角形．

[解法提示]设直线与轴、轴分别交于点、点，则，

假设存在满足条件的点，

(a)当点在线段上时，如解图②所示，此时点与点重合，

设，

则，

，

过点作轴于点，

则，

，

在中，

，

若，则，解得，故此种情形不存在；

若，则

，

整理得，

即，不成立，故此种情形不存在；

若，则

，

整理得，即，解得．

；

(b)当点在边上时，如解图③，此时，

若，

过点分别作于点，轴于点，

易知为等腰直角三角形，

，

，

∴将代入，

得，

，

，

．

(c)当点在线段上时，如解图④，

，

∴可求得直线的解析式为

；

联立与，解得，．

设，

则，

，

．

与(a)同理，可求得

，

若，则，解得，故此种情形不存在；

若，则

，

整理得，即，解得，符合条件，此时；

若，

则，

整理得，即，解得，故此种情形不存在；

(d)当点在线段上时，如解图⑤所示．

的夹角为135°，

∴只可能是成立，

∴点在的平分线上．

设此角平分线与轴交于点，过点作直线于点，

则，，

，

解得，

，

又，

∴直线的解析式为：

，

联立直线与直线，

求得；

(e)当点在边上时，此时，等腰三角形不存在；

综上所述，存在满足条件的点P，且点坐标为：．