Question

1．把2015个正整数1，2，3，4，…，2015按如图所示的方式排列成一个表．用一个方框按如图所示的方式任意框住9个数．
（1）若框住的9个数中．正中间的一个数为39．请直接写出另外的八个数的和．
（2）方框能否框住这样的9个数．它们的和等于2025？若能．请写出这9个数；若不能．请说明理由．
（3）若把7n+p个正整数1，2，3，4，…7n+p按同样方式排列成一个表从左到右，其中n、p均为正整数且p＜7．第1列至第7列各列上的数之和分别记为s₁，s₂，s₃，s₄，s₅，s₆，s₇等7个数，请说明最小的数为S_p+1．

Answer 1

分析 （1）找出所框数字上下两行间的数量关系，左右数字间的数量关系，即可写出另外的八个数，进而求出它们的和；
（2）由（1）可知方框框住这样的9个数的和是正中间的一个数的9倍，代入2025求出中间的数，由225÷7=32…1可得出225为33行的第1个数，即225前面不存在数，从而得出方框框住这样的9个数．它们的和不能等于2025；
（3）假设除去最后一行后第1列的和为a、则第2列的和为a+n、第3列的和为a+2n、第4列的和为a+3n、第5列的和为a+4n、第6列的和为a+5n、第7列的和为a+6n，由1≤p≤6且为正整数结合每列数总和之间的关系即可得出S_p+1-n=S_p-（7n+p），将其变形后即可得出最小的数为S_p+1．

解答 解：（1）31+32+33+38+40+45+46+47=312；
（2）设正中间的数为a，则
（a-8）+（a-7）+（a-6）+（a-1）+a+（a+1）+（a+6）+（a+7）+（a+8）=9a，
由题意得9a=2025，
解得a=225．
∵225÷7=32…1，
∴225为33行的第1个数，
∴225前面不存在数，
∴方框框住这样的9个数．它们的和不能等于2025．
（3）假设除去最后一行后第1列的和为a，则第2列的和为a+n，第3列的和为a+2n，第4列的和为a+3n，第5列的和为a+4n，第6列的和为a+5n，第7列的和为a+6n，
当1≤p≤6且为正整数时，由题意可知：S_p+1-n=S_p-（7n+p），
∴S_p+1=S_p-6n-p，
∴最小的数为S_p+1．

点评 本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中图形的变化类，根据图形中数与数之间的关系列出一元一次方程是解题的关键．